Back

★ Vzájemná informace



Vzájemná informace
                                     

★ Vzájemná informace

Vzájemné informace nebo transinformace dvou náhodných veličin v teorii pravděpodobnosti a informační teorie měření vzájemné závislosti proměnných. Obvyklé jednotky pro měření vzájemné informace je jeden bit.

                                     

1. Definici vzájemné informace. (The definition of mutual information)

Formálně může být vzájemná informace dvou diskrétních náhodných proměnných X a Y definována takto:

I X, Y = ∑ y ∈ Y ∑ x ∈ X p x, y log ⁡ p x, y p x p y), {\displaystyle IX,Y=\sum _{y\in Y}\sum _{x\in X}px,y\log {\left{\frac {px,y}{px\,py}}\right)},\,\!}

kde p x, y je spojena pravděpodobnostní funkce proměnných X a Y a p x a p y jsou marginální pravděpodobnostní funkce proměnných X a Y.

V případě spojité náhodné veličiny je součtem nahrazen určitou dvojným integrálem:

I X, Y = ∫ Y ∫ X p x, y log ⁡ p x, y p x p y) d x d y, {\displaystyle IX,Y=\int _{Y}\int _{X}px,y\log {\left{\frac {px,y}{px\,py}}\right)}\,dx\,dy,}

kde p x, y je spojena funkce hustoty pravděpodobnosti X a Y, a p {x} \displaystyle px} nebo p y {\displaystyle py} je marginální pravděpodobnosti X nebo Y.

Pokud použijeme logaritmus o základu 2, bude jednotka vzájemné informace bit.

Intuitivně, tam je vzájemná informace, míra informace, které jsou sdílené pomocí náhodných proměnných X a Y: indikuje, do jaké míry znalost jednoho z těchto proměnných se snižuje nejistota ohledně dalších. Pokud náhodné veličiny X a Y nezávislé, což znamená, že vědomím X nedává žádné informace o Y a naopak, pak je jejich vzájemná informace nulová. Druhým extrémem je, když X je deterministický funkce Y, a Y je deterministický funkce X, pak všechny informace, které provádí náhodná proměnná X je sdílena s Y, a proto znalosti z X určuje hodnotu Y a naopak. Důsledkem toho je, že v tomto případě vzájemné informace je stejná jako nejistoty obsažené v Y nebo X na sobě, tj. entropie Y nebo X. Navíc, tato vzájemná informace je stejné, jako entropie X, a jako entropie Y. velmi zvláštní případ této situace je, když X a Y jsou ve skutečnosti stejné náhodné proměnné.

Vzájemná informace je mírou nedílnou závislost vyjádřená clusteru rozložení náhodných proměnných X a Y vztahující se ke clusteru rozdělení proměnných X a Y, pokud by byly nezávislé. Vzájemná informace tedy měří závislost v následujícím smyslu: X, Y = 0 když a jen když X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny. To je snadné vidět v jednom směru: pokud X a Y jsou nezávislé, pak p x, y = p x, p y, a proto:

log ⁡ p x, y p x p y) = log ⁡ 1 = 0. {\displaystyle \log {\left{\frac {px,y}{px\,py}}\right)}=\log 1=0.\,\!}

Vzájemná informace je vždy nezáporný, tj. X, Y ≥ 0, viz níže) a symetrická, tj. X, Y = Y, X).

                                     

2. Vztahu k jiné množství. (Relation to other quantities)

Vzájemná informace může být ekvivalentně vyjádřena jako

I X, Y = H X − H X | Y = H Y − H Y | X = H X + H Y − H X, Y = H X, Y − H X | Y − H Y | X {\displaystyle {\begin{aligned}IX,Y&,{}=HX-HX|Y\\&,{}=HY-HY|X\\&,{}=HX+HY-HX,Y\\&,{}=HX,Y-HX|Y-HY|X\end{aligned}}}

kde H X a H Y jsou marginální entropie, H, X | Y a H Y | X je podmíněná entropie, H X, Y je v kombinaci entropie X a Y. Při použití jensenovy nerovnosti na definici vzájemné informace můžeme ukázat, že X, Y je non-negativní, a proto H X ≥ H X | Y {\displaystyle \ HX\geq HX|Y}.

Intuitivně: pokud entropie H X je chápána jako míra nejistoty hodnoty náhodné proměnné, pak H X | Y je měřítkem toho, co Y neříká o X. To je "množství zbývající nejistoty o X, když Y je známý", a proto pravé straně první z těchto rovnic můžeme číst jako "míra nejistoty v X, minus nejistota v X, to je, když Y je známý", což je stejné jako "množství nejistoty o X, když je odstraněn poznání Y". To potvrzuje intuitivní význam vzájemné informace jako množství informací, tj. snížení neurčitosti, že poznání jedné proměnné poskytuje o druhé.

Všimněte si, že v diskrétním případě H X | X = 0, a proto H X = X, X. Tedy X ≥ X, Y, a můžeme formulovat základní zásady, že každá náhodná proměnná obsahuje alespoň co nejvíce informací o sobě jako jakékoliv jiné proměnné.

Vzájemné informace lze také vyjádřit Kullbackovou-Leiblerovou divergence součinu p x p y marginální rozdělení náhodných veličin X a Y, a sdruženého rozdělení náhodné veličiny p x, y:

I X, Y = D K L p x, y ‖ p x p y). {\displaystyle IX,Y=D_{\mathrm {KL} }px,y\|pxpy).}

Pokud označíme p x | y = p x, y / p y, pak

I X, Y = ∑ y p y ∑ x p x | y log 2 ⁡ p x | y p x = ∑ y p y D K L p x | y ‖ p x) = E Y { D K L p x | y ‖ p x) }. {\displaystyle {\begin{aligned}IX,Y&,{}=\sum _{y}py\sum _{x}px|y\log _{2}{\frac {px|y}{px}}\\&,{}=\sum _{y}py\,D_{\mathrm {KL} }px|y\|px)\\&,{}=\mathbb {E} _{Y}\{D_{\mathrm {KL} }px|y\|px)\}.\end{aligned}}}

nebo vzájemná informace může být také chápána jako očekávaná hodnota Kullbackovy-Leiblerovy divergence jednorozměrné distribuce p x z X a podmíněné rozdělení pravděpodobnosti p x | y náhodné proměnné X na Y: čím více jsou odlišné distribuce p x | y a p x, tím větší je informace získat.

                                     

3. Varianty vzájemné informace. (Variants of the mutual information)

Bylo navrženo několik variant vzájemné informace pro různé speciální potřeby. Tyto zahrnují standardní varianty a zobecnění na více než dvě proměnné.

                                     

3.1. Varianty vzájemné informace. Metrické. (Metric)

Mnoho aplikací vyžadují, metrika, tj. míru vzdálenosti mezi body. Hodnota

d X, Y = H X, Y − I X, Y = H X + H Y − 2 I X, Y = H X | Y + H Y | X {\displaystyle dX,Y=HX,Y-IX,Y=HX+HY-2IX,Y=HX|Y+HY|X}

splňuje podmínky pro metrické. Tato vzdálenost je metrika je také známý jako variace informace.

Protože platí d X, Y ≤ H, X, Y {\displaystyle dX,Y\leq HX,Y}, tato metrika přirozeně normalizovat:

D X, Y = d X, Y / H X, Y ≤ 1. {\displaystyle DX,Y=dX,Y / HX,Y\leq 1.}

Metrika D je univerzální metrika v tom smyslu, že v případě jakékoliv jiné měřit vzdálenosti říká, že X a Y jsou blízko, pak také D z nich bude tvrdit, že jste v blízkosti.

Množinově teoretické interpretaci vzájemného poskytování informací, prosím, viz obrázek pro podmíněné entropie ukazuje, že

D X, Y = 1 − I X, Y / H X, Y {\displaystyle DX,Y=1-IX,Y / HX,Y}

což je účinně Jaccardova vzdálenost mezi X a Y.



                                     

3.2. Varianty vzájemné informace. Podmíněné vzájemné informace. (Conditional mutual information)

To je někdy užitečné, jak vyjádřit vzájemné informace dvou náhodných proměnných podmíněna třetí proměnné:

I X, Y | Z = E Z I X, Y | Z) = ∑ z ∈ Z ∑ y ∈ Y ∑ x ∈ X p z p X, Y | Z x, y | z log ⁡ p X, Y | Z x, y | z p X | Z x | z p Y | Z y | z, {\displaystyle IX,Y|Z=\mathbb {E} _{Z}{\big }IX,Y|Z{\big)}=\sum _{z\in Z}\sum _{y\in Y}\sum _{x\in X}p_{Z}zp_{X,Y|Z}x,y|z\log {\frac {p_{X,Y|Z}x,y|z}{p_{X|Z}x|zp_{Y|Z}y|z}},}

které mohou být zjednodušeny

I X, Y | Z = ∑ z ∈ Z ∑ y ∈ Y ∑ x ∈ X p X, Y, Z x, y, z log ⁡ p z p X, Y, Z x, y, z p X, Z x, z p Y, Z y, z. {\displaystyle IX,Y|Z=\sum _{z\in Z}\sum _{y\in Y}\sum _{x\in X}p_{X,Y,Z}x,y,z\log {\frac {p_{Z}zp_{X,Y,Z}x,y,z}{p_{X,Z}x,zp_{Y,Z}y,z}}. }

Takže třetí náhodné proměnné muž, vzájemné informace o zvýšení a snížení, ale vždy platí, že

I X, Y | Z ≥ 0 {\displaystyle IX,Y|Z\geq 0}

pro diskrétní, sdruženě distribuovány náhodné proměnné X, Y, Z. Tento výsledek slouží jako základní stavební blok pro důkaz druhé nerovnosti v teorii informace.

                                     

3.3. Varianty vzájemné informace. Multivariační vzájemné informace. (Multivariate mutual information)

Bylo navrženo několik zobecnění vzájemné informace pro více než dvě náhodné veličiny, např. celkový korelační a interakce informace. Pokud Shannonovu entropii je vnímána jako znaménkovou míru v kontextu informací z diagramu, jak je vysvětleno v článku Teorie informace a teorie míry, pak pouze definice vícerozměrného vzájemné informace, která dává smysl, je tato:

I X 1, X 1 = H X 1 {\displaystyle IX_{1},X_{1}=HX_{1}}

a pro n > 1, {\displaystyle n> 1,}

I X 1., X n = I X 1., X n − 1 − I X 1., X n − 1 | X n, {\displaystyle IX_{1},\.\,X_{n}=IX_{1},\.\,X_{n-1}-IX_{1},\.\,X_{n-1}|X_{n},}

kde, jak výše jsme definovat

I X 1., X n − 1 | X n = E X n I X 1., X n − 1 | X n). {\displaystyle IX_{1},\.\,X_{n-1}|X_{n}=\mathbb {E} _{X_{n}}{\big }IX_{1},\.\,X_{n-1}|X_{n}{\big)}. }

Tato definice vícerozměrného vzájemné informace je totožné, s výjimkou znamení, kdy počet náhodných proměnných, je zvláštní definici interakce informace.

Pokud a B jsou dvě sady proměnných, pak vzájemné informace mezi nimi je:

I A, B = H A ∪ B + H A ∩ B − H A − H B, {\displaystyle IA,B=HA\cup B+HA\cap B-HA-HB,}


                                     

3.4. Varianty vzájemné informace. Aplikace. (Application)

Slepé použití informací z diagramu odvodit výše uvedená definice byla kritizována a opravdu se ukázalo, že jeho použití je poněkud omezená, protože je těžké si představit a pochopit význam této veličiny pro větší počet náhodných proměnných, neboť pro n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} muže mít nulovou, kladnou i zápornou hodnotu.

Multi-rozměrné zobecnění, která maximalizuje vzájemné informace mezi clusteru rozložení a dalších cílových proměnných, se však s úspěchem používá pro výběr funkce.

Vzájemná informace se také používá v oblasti zpracování signálu jako míra podobnosti dvou signálů. Například, FMI metrika je měřítkem výkonnosti sloučení obrazu pomocí vzájemné informace pro měření množství informace o zdrojové obrázky, které obsahuje sloučený obraz.

                                     

3.5. Varianty vzájemné informace. Normalizované varianty. (Normalized variants)

Normalizované varianty vzájemné informace je poskytována omezení koeficienty nebo koeficienty nejistoty

C X Y = I X, Y H Y a C Y X = I X, Y H X. {\displaystyle C_{XY}={\frac {IX,Y}{HY}}~~{\mbox{ a }}~~C_{YX}={\frac {IX,Y}{HX}}. }

Hodnoty obou koeficient se může lišit. V některých případech, může být požadováno, symetrická rychlost, jako například následující opatření redundance:

R = I X, Y H X + H Y {\displaystyle R={\frac {IX,Y}{HX+HY}}}

která má nejmenší hodnotu nula, když proměnné jsou nezávislé, a maximální hodnota

R max = min H X, H Y) H X + H Y {\displaystyle R_{\max }={\frac {\minHX,HY)}{HX+HY}}}

když je jedna proměnná v poznání jiné úplně zbytečné. Viz článek Redundance. Další symetrická rychlost je symetrická nejistoty Witten & Frank 2005

U X, Y = 2 R = 2 I X, Y H X + H Y {\displaystyle UX,Y=2R=2{\frac {IX,Y}{HX+HY}}}

což představuje vážený průměr ze dvou koeficient nejistoty

Pokud vezmeme v úvahu vzájemné informace jako zvláštní případ celkového korelace nebo dual celková korelace, pak normalizované verze jsou postupně

I X, Y min }},~~~~~~~{\frac {IX,Y}{HX,Y}},~~~~~~~{\frac {IX,Y}{\sqrt {HXHY}}}}

Hodnota

D ′ X, Y = 1 − I X, Y max H X, H Y) {\displaystyle D^{\prime }X,Y=1-{\frac {IX,Y}{\maxHX,HY)}}}

je metrika, tj. splňuje nerovnost trojúhelník, a jiné podmínky pro metrické.

                                     

3.6. Varianty vzájemné informace. Vážené varianty. (Weighted variants)

V tradiční formulaci vzájemné informace

I X, Y = ∑ y ∈ Y ∑ x ∈ X p x, y log ⁡ p x, y p x p y, {\displaystyle IX,Y=\sum _{y\in Y}\sum _{x\in X}px,y\log {\frac {px,y}{px\,py}},}

je nějaká událost nebo objekt, že x, y {\displaystyle x,y} vážený odpovídající pravděpodobnosti p x, y {\displaystyle px,y}. To znamená, že všechny předměty nebo události jsou na pravděpodobnost jejich výskytu ekvivalent. Nicméně, některé aplikace vyžadují, aby určité objekty nebo události byly významnější než jiné, nebo že některé vzorky sdružení byly sémanticky důležitější než ostatní.

Například, deterministický pohled { 1 2 3 } {\displaystyle \{1.1.2.2.3.3\}} lze považovat za silnější než deterministické zobrazení { 1, 3, 2, 1, 3, 2 } {\displaystyle \{1.3.2.1.3.2\}}, ačkoli tyto vztahy dávají stejný vzájemné informace. Důvodem je, že vzájemná informace není citlivý na jakýkoliv vlastní uspořádání hodnot proměnných, a proto není citlivý na formě relační zobrazení mezi příslušnými proměnnými. Pokud požadujeme, aby první relace, která ukazuje shodu na všechny hodnoty proměnných, byl považován za silnější než ostatní relace, pak je možné použít vážený vzájemné informace Guiasu 1977 definována takto:

I X, Y = ∑ y ∈ Y ∑ x ∈ X w x, y p x, y log ⁡ p x, y p x p y, {\displaystyle IX,Y=\sum _{y\in Y}\sum _{x\in X}wx,ypx,y\log {\frac {px,y}{px\,py}},}

Ta je definována váženým vzájemné informace přiřadí k sobě pravděpodobnost souvýskytu hodnoty proměnných p, x, y {\displaystyle px,y} z hmotnosti w, x, y {\displaystyle wx,y}. To vám umožní udržet určitou pravděpodobností mohly mít větší nebo menší význam než jiné, což umožňuje kvantifikaci příslušné komplexní faktor. Ve výše uvedeném příkladu, použití větších relativních vah w 1 {\displaystyle w1.1}, w 2 {\displaystyle w2.2} a w 3 {\displaystyle w3.3} přináší efekt přiřazení větší důležitosti zasedání { 1 2 3 } {\displaystyle \{1.1.2.2.3.3\}} před zasedáním { 1, 3, 2, 1, 3, 2 } {\displaystyle \{1.3.2.1.3.2\}}, což může být žádoucí v určitých případech, rozpoznávání vzorů, atd. Ale vážený vzájemná informace a její vlastnosti nebylo dáno mnoho matematických prací.

                                     

3.7. Varianty vzájemné informace. Upravená vzájemné informace. (The adjusted mutual information)

Rozdělení pravděpodobnosti může být viděn jako rozdělení soubor tříd ekvivalence. Můžeme se pak ptát: je-li určitý soubor byl rozdělen náhodně, co by bylo rozdělení pravděpodobnosti? Co by očekávaná hodnota vzájemné informace? Upravená vzájemné informace čeština-upraveny vzájemné informace, AMI odečtením očekávaná hodnota MĚ, tak AMI je roven nule, pokud dvě různé distribuce jsou náhodné, a je rovna jedné, pokud obě rozdělení jsou totožné. AMI je definován podobně jako upravené Rand index ze dvou různých rozdělení množiny.

                                     

3.8. Varianty vzájemné informace. Absolutní vzájemné informace. (Absolute mutual information)

Při použití nápadů z Kolmogorovova složitost, považujeme vzájemné informace dvou sekvencí nezávislá na jakékoli rozdělení pravděpodobnosti:

I K X, Y = K X − K X | Y. {\displaystyle I_{K}X,Y=KX-KX|Y.}

S cílem ukázat, že toto množství je na logaritmické členské symetrické X, Y ≈ I S e X {\displaystyle I_{K}X,Y\approx I_{K}Y,X}), je nutné, aby řetěz pravidlo pro Kolmogorovy složitosti. Aproximace této veličiny pomocí komprese se používá pro definování metriky pro realizaci hierarchické clusteringu posloupnosti bez znalosti domény sekvence.

                                     

3.9. Varianty vzájemné informace. Vzájemné informace pro diskrétní data. (Mutual information for discrete data)

Pokud množina možných hodnot náhodné veličiny X a Y diskrétní, pak pozorovaná data mohou být shrnuty v kontingenční tabulce, řádku proměnnou X nebo i a sloupec proměnné Y nebo n Vzájemná informace je jedním z opatření, asociace nebo korelace mezi linkou a bary proměnných. Další sdružení patří statistika testu dobré shody Pearsonova chi-kvadrát statistiky, G-test, atd. Vzájemná informace je rovna statistice z G-test děleno 2N, kde N je velikost vzorku.

Ve speciálním případě, kdy počet podmínkou pro řádek a sloupec proměnné je 2 i,j=1.2, pak počet stupňů volnosti Pearson s chi-square test je 1. Ze čtyř období v součtu

∑ i, j p i j log ⁡ p i j p i p j {\displaystyle \sum _{i,j}p_{ij}\log {\frac {p_{ij}}{p_{i}p_{j}}}}

existuje pouze jeden nezávislý. To je důvod, že vzájemné informace funkce by měla mít přesný vztah s korelační funkce p X = 1, Y = 1 − p X = 1 p Y = 1 {\displaystyle p_{X=1,Y=1}-p_{X=1}p_{Y=1}} pro binární posloupnost.



                                     

4. Použití vzájemné informace. (The use of mutual information)

V mnoha aplikacích chceme maximalizovat vzájemné informace, čímž se zvyšuje závislost, která je často ekvivalentní minimalizaci podmíněné entropie. Příklady zahrnují:

  • V technologii vyhledávání stroje vzájemné informace mezi větami a kontexty se používá jako vlastnost pro k-mean clustering pro vytváření sémantického cluster koncept.
  • Ošetření diskriminativního školení pro skryté Markovovy modely byly navrženy pomocí kritéria maximální vzájemná informace MMI.
  • Vzájemná informace se používá v lékařské zobrazovací pro registraci obrazu. Pokud dané referenční obraz, jako je skenování moygu a druhý obrázek, který se_chce_umístit ke stejnému systému souřadnic jako referenční obrázek, druhý obrázek je deformován tak, aby maximalizovat vzájemné informace mezi ním a referenční obraz.
  • Vzájemná informace je použita při určování podobnosti dvou různých clusterů.clustering datového souboru. Má určité výhody proti konvenčním Rand index.
  • Předpověď fylogenetického profilování vzájemné přítomnosti nebo dispřítomnosti funkcionálně spojeny gen.
  • V metodě infomax pro neuronové sítě a další metody strojového učení, včetně používání metod, infomax v analýze nezávislých komponent.
  • Ve statistické mechanice může být Loschmidtuv paradox vyjádřit pomocí vzájemné informace. Loschmidt si všiml, že to musí být nemožné odvodit zákon fyziky, které nejsou časově symetrické, například, druhý zákon termodynamiky pouze z fyzického práva odpovídající této symetrie. Ukázal, že Boltzmannův H-teorém je založen na předpokladu vzájemné nekorelovanosti rychlost částic v plynu, který narušuje symetrii času tkvící v H-věty. To může být prokázáno, že pokud systém je popsán hustotou pravděpodobnosti ve fázovém prostoru, pak z Liouvilleovy věty ukazuje, že kombinované informace, entropie souvisí se znaménkem minus distribuční zůstává konstantní v čase. Souhrnná informace je rovna vzájemné informace rozšířené součet všech mezních informace o marginální entropie se znaménkem minus pro každou souřadnici částice. Boltzmannuv předpoklad činí zanedbávání vzájemné informace při výpočtu entropie, která dává termodynamické entropie rozdělení Boltzmannovou konstantou.
  • Detekce fáze synchronizace při analýze časové řady.
  • Pruměrná vzájemné informace v Takensově věta se používá pro stanovení vkládání zpoždění parametr.
  • V oblasti telekomunikací, kapacita kanálu je rovna vzájemné informace maximalizovat přes všechny vstupní distribucí.
  • Vzájemná informace je použita jako kritérium pro výběr a transformace atributů v strojového učení. Muže být použit pro charakterizaci jak význam těchto redundance proměnné, jako je algoritmus výběru atribut s minimální redundancí.
  • Vzájemné informace o slova, je často používán jako funkce význam pro hledání sloužit jako zdroj v korpusová lingvistika. To má další složitost?, že žádné slovo-instance je instance dvou různých slov, spíše se počítá v případech, kdy obě slova se objevují bezprostředně za sebou nebo blízko sebe, že se mírně komplikuje výpočet, protože očekává, že pravděpodobnost, že jedno slovo se objeví maximálně N slov z druhého, roste s N.
  • Vzájemná informace mezi geny dat z microarray se používá v algoritmu ARACNE pro obnovu genových regulačních sítí.
  • Predikci sekundární struktury RNA se používá k zarovnání více sekvencí.
  • Vzájemná informace je použita v učení struktury Bayesovské sítě a dynamické Bayesovské sítě, které vysvětlit kauzální vztah mezi náhodnými proměnnými, o čemž svědčí GlobalMIT toolkit: učení globálně optimální dynamické Bayesovské sítě s každou další informace test kritériumem.
  • Oblíbené účelové funkce v učení rozhodovacího stromu.
                                     

5. Literatura. (Literature)

  • WELLS, W. M. III, 1996. Multi-modální objem registrace by maximalizace vzájemné informace. Lékařské Analýzy Obrazu. K dispozici v archivu přijatých na 2008-09-06. DOI:10.1016 / S1361-84150180004-9. PMID 9873920. Archivované 6. 9. 2008 na Wayback Machine.
  • Andre S. Ribeiro, Stuart A. Kauffman, Jason Lloyd-Cena, Bjorn Samuelsson a Joshua Socolar. Vzájemná Informace Náhodných Booleovských modelů regulačních sítí. Physical Review E. 2008. arXiv:0707.3642.
  • CILIBRASI, R., VITÁNYI, Pavel, 2005. Clustering by být komprese. IEEE transactions on Information Theory. Dostupné online: Morgan Kaufmann, Amsterdam, 2005. K dispozici on-line. ISBN 978-0-12-374856-0.
  • Peng, H. C., Dlouhý, F. a Ding, C. Funkce výběr na základě vzájemné informace: kritéria max-závislost, max-význam, a min-redundance. IEEE transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 2005. K dispozici on-line.
                                     
  • CVVZ Celostátní vzájemná výměna zkušeností je největší akcí tohoto druhu, kde se jednou ročně dobrovolně setkávají vedoucí pusobící v malých i velkých
  • entropií informace nebo stavu před a po zprávě. Občas je slovo informace chybně zaměňováno s pojmem data, který spíše představuje to, z čeho informaci získáváme
  • kružnice zadány svými rovnicemi, lze jejich vzájemnou polohu určit řešením odpovídající soustavy rovnic. Vzájemná poloha přímky a kružnice ležící v téže
  • Tento článek není dostatečně ozdrojován a muže tedy obsahovat informace které je třeba ověřit. Jste - li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit
  • Tento článek není dostatečně ozdrojován a muže tedy obsahovat informace které je třeba ověřit. Jste - li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit
  • Tento článek není dostatečně ozdrojován a muže tedy obsahovat informace které je třeba ověřit. Jste - li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit
  • Vzájemná žaloba, žaloba navzájem lat. reconventio je v civilním procesu dispoziční úkon, kterým žalovaný uplatňuje svuj vlastní nárok proti žalobci v
  • Kolmogorovova Sinaiova entropie v dynamických systémech Levenštejnova vzdálenost Vzájemná informace Negentropie Perplexita Kvalitativní variace jiné míry variability
  • Podrobnější informace naleznete v článku Kvalifikace na Mistrovství světa ve fotbale 2022 CAF 54 týmu bojujících o 5 místenek Podrobnější informace naleznete
  • muže nabývat dvou stavu: volný a vlastněný. K tomu udržuje dva druhy informace Prvním je identifikátor procesu, který mutex drží. Druhým je počet uzamknutí
                                     
  • RVHP neboli Rada vzájemné hospodářské pomoci rusky: СЭВ, Совет Экономической Взаимопомощи, Sovět ekonomičeskoj vzaimopomošči, anglicky: Comecon, The Council
  • budova dobudována a předána k používání. Investorem stavby byla První česká vzájemná pojišťovna, v jejíž správní radě seděl od roku 1910 také tehdejší královéhradecký
  • skupina B. Podrobnější informace naleznete v článku Kvalifikace na Mistrovství Evropy ve fotbale 2008 skupina C. Podrobnější informace naleznete v článku
  • současně ve 20: 45. Související informace naleznete také v článku Skupina A Mistrovství Evropy ve fotbale 2008. Související informace naleznete také v článku
  • Tento článek není dostatečně ozdrojován a muže tedy obsahovat informace které je třeba ověřit. Jste - li s popisovaným předmětem seznámeni, pomozte doložit
  • axiálních sil. Podrobnější informace naleznete v článku Komutátor elektrotechnika Komutátor je prstenec složený ze vzájemně izolovaných lamel. K jednotlivým
  • turnaji. Podrobnější informace naleznete v článku Kvalifikace na Mistrovství světa ve fotbale 2014 CAF první fáze. Podrobnější informace naleznete v článku
  • počet bodu obdržených ve vzájemných zápasech lepší brankový rozdíl ve vzájemných zápasech vyšší počet gólu vstřelených ve vzájemných zápasech více vstřelených
  • zpusobem, jehož hlavním cílem je založení rodiny, řádná výchova dětí a vzájemná podpora a pomoc 655 OZ Uzavírá se svobodným a úplným souhlasným prohlášením
  • jinými obory, např. optoelektronika oční optika optometrie Podrobnější informace naleznete v článku Geometrická optika. Geometrická optika je nejstarší
  • obsahuje zastaralé informace Mužete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte, aby odrážel aktuální stav a nedávné události. Historické informace nemažte, raději
                                     
  • abstraktních bodu, pomocí nichž se popisuje struktury krystalu, neboli vzájemná poloha částic v krystalu. Podobně jako u krystalu i zde zatím není možné
  • Sedmiboj Související informace naleznete také v článku Badminton na Letních olympijských hrách 2012. Související informace naleznete také v článku
  • úhly stejnou velikost, pak se nazývají pravé a přímkám říkáme, že jsou navzájem kolmé kolmice Přímka Vzájemná poloha dvou přímek Rovnoběžky Mimoběžky
  • dosáhnout určeného cíle. Má větší informační hodnotu než pouhá data nebo informace a menší informační hodnotu než moudrost. Znalosti bývají typicky utříděny
  • klubu je Al - Zamalek. Rivalita je mezi oběma týmy tak velká, že jejich vzájemná utkání musí řídit rozhodčí z ciziny. Al - Ahly drží ještě jeden rekord v
  • Kropotkin vzájemná pomoc Tento směr zásadně odmítá kapitalismus, který považují za vykořisťování a hierarchickou nespravedlnost. Podrobnější informace naleznete
  • česky Moravskoslezská Divize D MSD - D 1993 94, František Kopecký Informace o klubu, fckyjov1919.cz Jindřich Horák, Lubomír Král: Encyklopedie našeho
  • Související informace naleznete také v článku Fed Cup 2012 - Americká zóna. Baráž 2. skupiny Americké zóny ve Fed Cupu 2012 představovala čtyři vzájemná utkání
  • Související informace naleznete také v článku Fed Cup 2012 - Americká zóna. Baráž 1. skupiny Americké zóny ve Fed Cupu 2012 představovala čtyři vzájemná utkání

Users also searched:

informace, Vzjemn, Vzjemn informace, vzájemná informace,

...

Encyclopedic dictionary

Translation

Vzájemné soužití.

HVP informace o pojištění, pojišťovně na záznamu xlsx, 47.02 kB HVP Předsmluvní informace os0119 pdf, 547.9 kB. Copyright © 2021 OK GROUP a.s. Monochrom Pocta vzájemnosti Turistický informační portál. Informace pro zájemce. Obchodní firma a právní forma pojistitele: Hasičská vzájemná pojišťovna, a. s. Adresa a sídlo pojistitele: Římská 2135 45, Praha, PSČ:. Jméno: Otázka 1 Informace, entropie, vzájemná informace Otázka 2. Cestou vzájemného porozumění na území ORP Litomyšl. Realizace projektu ​Cestou vzájemného porozumění ve vzdělávání na území ORP info@. Motoristická Vzájemná Pojišťovna, družstvo Informace Facebook. Úvod. Segmentace obrazu je problém, jehož obecné řešení se dosud nepodařilo nalézt. V tomto příspěvku jsou ukázány metody, které při omezení se jen na. Vzájemné poskytování informací eAGRI. Rád bych porovnal svoji informaci s jinou. Stojím před problémem vzájemné informovanosti po skončení stavebních prací, předání stavby a montáže.





Hasičská vzájemná pojišťovna, a.s. Informace o OK GROUP.

Informace o Vinohradské vzájemné družstevní záložně k 31. 3. 2008. Obchodní firma: Vinohradská vzájemná družstevní záložna. Právní forma. Spojené státy řeší vzájemné sdílení informací se zeměmi, které. Vzájemné uznávání tzv. informací o potravinovém řetězci. Vydáno: 22.12.2011. Tisk článku. Autor: Mgr. Jana Kubcová Beránková. Tisková zpráva SVS ČR ze. Informace ke sčítání lidu, domu a bytu 2021: INFORMACE Vzájemně. Otázka 2. Komunikační složitost, kombinatorické obdélníky, příklady. Page 2. Otázka 1. Relativní informace a její vlastnosti. Otázka 2. Reed Solomonovy kódy​. Mezinárodní smlouvy o výměně a vzájemné ochraně utajovaných. Informace k článku ČŠI: Vzájemné hospitace zásadně zvyšují kvalitu. V ​Učitelských novinách č. 7 2017, str. 18 19 je zveřejněn článek s názvem ČŠI:.


Povinně uveřejňované informace Hasičská vzájemná pojišťovna.

Info@ a informují o vzájemném pusobení rizik, která se mohou vyskytnout v prostorech areálu Výstaviště Praha. Hasičská vzájemná pojišťovna HV Group. Více informací k systému REX naleznete na internetových stránkách puvodu zboží celní správy. Na produkty pocházející z Vietnamu se preferenční zacházení. Splnění smluvní povinnosti zaslat Svazu monitorovací dokument. Princip vzájemného uznávání pomáhá odstraňovat neoprávněné o poskytnutí příslušné dokumentace a další podpurné informace, jež jsou.





Vzájemná informace.

Žádost o informace Dohoda o vzájemné součinnosti a spolupráci. 09. 07. 2012. Dne 3. 7. 2012 obdržel Ústřední inspektorát elektronickou žádost, v níž byly. INFORMAČNÍ MEMORANDUM BANKOVNÍHO REGISTRU burinka. Vzájemná informace je odvozená od entropie obrazu M a N, které mužeme Teorie informace definuje entropii náhodné proměnné pomocí její hustoty.


69 2009 Sb. m. s. Smlouva o výměně a vzájemné ochraně.

Informace, strukturu a vzájemné vztahy sdělované prezentací lze programově určit nebo jsou dostupné ve formě textu. Vzdělávání Cestou vzájemného porozumění Město Litomyšl. Povinně uveřejňované informace. What is basta fare clic per la fonte? How does it work? Is it effective? What are the side effects? Find answers to your Cialis. Aktuální informace Součinnost a vzájemná informovanost. Najděte si kontaktní údaje a podrobnosti o stránce Motoristická Vzájemná Informace. Zastupujeme klienty před správními orgány. Další informace. Jsme:. Informace o vzájemných vztazích Generální konzulát České MZV. Poskytování právních informací obětem trestných činu. j.png. Projekt je finančně podpořen z prostředku Ministerstva spravedlnosti ČR.


Vzájemná informace o Liberty Události v regionech Ostrava.

Kniha přináší argumenty ve prospěch tvrzení, že vzájemná pomoc a spolupráce jsou ve Osvěta a poskytování informací Vzdělávání a výzkum. Princip vzájemného uznávání ProCoP informační místo o. Vzájemná informace nebo transinformace dvou náhodných proměnných je v teorii pravděpodobnosti a teorii informace míra vzájemné závislosti proměnných. Obvyklou jednotkou pro měření vzájemné informace je jeden bit. Memorandum o vzájemné spolupráci Brněnská metropolitní oblast. Nadace policistu a hasiču vzájemná pomoc v tísni je nezisková organizace, jejímž posláním je zlepšit životní podmínky dětem po policistech a hasičích, kteří​. Hasičská vzájemná pojišťovna, a.s. HVP povinné ručení. Monochrom Pocta vzájemnosti. Čas konání: 10.00 17.00. Místo konání: Galerie Václava Chada. Pořadatel: Zlínský zámek o. p. s. Usnesení Zastupitelstvo: Návrh Memoranda o vzájemné spolupráci. Tyto informace slouží k zajištění plné a transparentní informovanosti pacientu Vzájemná elektronická komunikace v prostředí MOU MEDDI muže zahrnovat.





Žádost o informace Státní zemědělská a potravinářská inspekce.

Informace o vzájemném uznávání praxe v oborech dětské lékařství a praktické lékařství pro děti a dorost. pediatrický společný základ základní kmen. Lékaři. 1. Úvod 2. Registrace obrazu pomocí jejich vzájemné informace. Podmínky účasti na zájezdech a vzájemná práva a povinnosti, vzni kající mezi klientem a naší CK upravují Všeobecné smluvní podmínky CK GLOBTOUR.





INFORMACE O PuSOBENÍ VZÁJEMNÝCH RIZIK Výstaviště Praha.

Vzájemná informace Взаимная информация. Matematické Fórum Vzájemná informace. Cesta: Titulní stránka INFORMACE Vzájemně! Za realizaci Sčítání 2021 odpovídá Český statistický úřad více informací najdete na adrese. Preferenční zacházení u zboží v rámci vzájemného obchodování. V pruběhu procesu posouzení vlivu na životní prostředí proces EIA, a také informace o právech a možnostech, které má veřejnost a dotčená veřejnost v.


VŠEOBECNÉ INFORMACE CK GLOBTOUR GROUP A.S. Podmínky.

Vzájemná informace o Liberty Události v regionech Ostrava, Britská a česká vláda se budou vzájemně informovat o situaci kolem oceláren. Uzavřením Memoranda obce deklarují vzájemnou spolupráci při. Hasičská vzájemná pojišťovna. Autopojištění HAV 126.81 kB Autopojištění POV Povinné informace PDF Pravidla řízení střetu zájmu, systém odměňování. Vzájemná vazba mezi zákonem o integrované prevenci, stavebním. Přejíce si upravit vzájemnou ochranu utajovaných informací vyměněných nebo Utajovanou informací jakákoliv informace, bez ohledu na svoji formu, která. Mimosoudní řešení spotřebitelských sporu ADR – COI. Základní informace. Por favor, si me indicáis visita el sitio web especialista es el que se ocupa de estos problemas me hacéis un favor. Hola, hace tiempo tengo. HZS Olomouckého kraje Pomucky k výuce ochrany člověka za. Výběr historických informací dosvědčující dlouhodobou pozitivní spolupráci najdete v této kapitole. Udržování vztahu s cizími státy spadá do.





Vzájemné uznávání tzv Internetový portál bezpečnosti potravin.

Finanční správa uzavřela s Magistrátem hlavního města Prahy memorandum o vzájemné výměně informací v souvislosti s Airbnb. SMLOUVA O VZÁJEMNÉM POSKYTOVÁNÍ A OCHRANĚ. Základní informace. Podpora a posílení vzájemných vztahu mezi ČR a donorskými státy Norsko, Island, Lichtenštejnsko je jedním ze dvou hlavních cílu Fondu. Informace pro pacienty o zpracování jejich osobních údaju pro. Jestliže prodávající provozuje internetové stránky, uvede tyto informace i na ze smlouvy o poskytování služeb, který se nepodaří vyřešit vzájemnou dohodou,. Základní informace Hasičská vzájemná pojišťovna. Ochrana člověka za mimořádných událostí Sebeochrana a vzájemná pomoc učebnice pro občanskou a rodinnou výchovu na ZŠ, vydaná v roce 2002.


Hasičská vzájemná pojišťovna Povinne.

Vzájemná informace. Ahoj, projíždím příklady z tohoto dokumentu a zasekl jsem se na příkladu č. 3 Při vysílání dvouprvkové abecedy., se. Princip vzájemného uznávání, ProCoP Product Contact Point. Vzájemná informace anglicky Mutual information, MI nebo dříve transinformace dvou náhodných proměnných je v teorii pravděpodobnosti a teorii informace. Mezinárodní smlouvy Česká správa sociálního zabezpečení. Úřad má jako ústřední správní úřad v oblasti ochrany utajovaných informací ve své kompetenci přípravu návrhu na sjednávání smluv o výměně.


Informace o vzájemném uznávání praxe v oborech dětské lékařství a.

VZÁJEMNÁ INFORMACE o zajištění BOZP a PO Ve smyslu zákonvíku práce § č​. Sb.ve znění pozdějších změn, se níže uvedení vzájemně informovali o. Vzájemná informace o rizicích. Vlivem decentralizace moci státu mají ředitelky mateřských škol daleko více povinností a pravomocí, jsou zahlcovány novými informacemi a vzájemná. Princip vzájemného uznávání na vnitřním trhu se zbožím a postup. Informací, které si vzájemně poskytují banky o smluvních úvěrových vztazích mezi bankami a jejich klienty bližší informace o obsahu BRKI jsou uvedeny. Finanční správa uzavřela s Magistrátem hlavního města Prahy. Hasičská vzájemná pojišťovna patří mezi nejstarší pojišťovací instituce na českém území. 120 00 Praha 2 420 222 119 111 info@.cz.





...
Free and no ads
no need to download or install

Pino - logical board game which is based on tactics and strategy. In general this is a remix of chess, checkers and corners. The game develops imagination, concentration, teaches how to solve tasks, plan their own actions and of course to think logically. It does not matter how much pieces you have, the main thing is how they are placement!

online intellectual game →